过程性变式视角下数学抽象素养的培养以全国高

一、试题及母题呈现

1.试题再现

(2020全国卷Ⅰ理科20题)已知点A,B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.

2.解法探究

解析：假设P(6,t)，由于A(-3,0)，则直线代入消去y整理可得(9+t2)x2+6t2x+9(t2-9)=0.设C(x1,y1)，由韦达定理得于是从而所以同理可得当直线CD斜率不存在时，则解得t2=3，此时显然过定点当直线CD斜率存在时，所以CD:

整理得此时直线过定点综上直线CD恒过定点.

这道题并非空中楼阁，事实上此题无论在条件、结论、解法等方面均与下面这道江苏高考题非常吻合.

3.母题呈现

(2010江苏高考18题)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左、右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(t,m)的直线TA，TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.(1)、(2)略；(3)设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点.

二、问题提出及解决

解题教学不能停留在就题论题的层面，而应该通过对一道或几道试题的探究实现对一类问题的解决，这就需要引导学生进一步深入思考：上述两道高考题之间的联系是什么？能否抽象出更一般的模型？怎样从数学问题中抽象数学模型？有哪些模型？模型之间的联系与区别是什么？只有解决了这些问题才能使学生理顺思路，开阔视野，实现对问题的深度理解，从而使数学抽象素养在课堂教学中真正落地.本文以2020全国Ⅰ卷理科20题为例，探索如何在过程性变式视角下提高学生在模式识别、模式提炼、模式整合等方面的能力从而培养学生的数学抽象素养.

1.运用图式表征实现模式识别

《普通高中数学课程标准(2017)》(以下简称《标准》)指出，高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.这样在课堂教学中要善于引导学生用数学语言表征问题，继而抽象出一般规律和结构.这里将2020全国Ⅰ卷理科20题记为试题1，2010江苏高考18题记为试题2.试题1用图1来表征.试题2用图2来表征.

图1

图2

通过对图1与图2中椭圆位置形态及点、线之间关系的观察与比较，学生很容易发现两个问题的一致性：两个题目都是过椭圆外一条垂直于x轴的直线上一动点，连接该动点与椭圆的左、右顶点，然后得到两条直线，这两条直线分别与椭圆相交于另外两点，最后都是证明：过两点的直线必定经过平面内一定点. 问题的相似性激发着学生对问题模型的提炼，从而抽象出以下一个基本的模型.

模型1 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左、右顶点为A,B，点P为直线x=t(|t|≠a)上一动点，PA与椭圆交于另一点M，PB与椭圆交于另一点N.则直线MN必过一定点.

2.立足过程性变式逐级抽象模型

《标准》要求，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁.那么在平常的解题教学中如何落实呢？过程性变式教学是落实目标的一种有效方式.

顾泠沅等学者把变式教学分为概念性变式和过程性变式教学两类.概念性变式教学突出对概念内涵的理解，过程性变式教学突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过过程性变式教学，使数学教学有层次地递进[1]. 利用过程性变式可以对一个初始问题进行变式，继而提出数学命题和模型，从而使得数学抽象素养在课堂教学中落实.

(1)改变直线位置 抽象定点模型

在教学过程中，可以让同学们思考试题1中动点P在变化过程中不变的是什么？在学生发现点P始终在一条竖线上运动后，顺势追问：你认为点P还可以在哪运动，哪些地方需要做相应的改动，学生容易想到将竖线变为横线，基于对称性，长轴的端点需改为短轴的端点，从而得到下面这个变式.

变式1 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的上、下顶点为A,B，点P为直线y=6上一动点，PA与椭圆交于另一点M，PB与椭圆交于另一点N.则直线MN必过一定点.

变式1中的点P是在一条横线上运动，但是直线MN仍然过一定点.基于对数学问题统一性的追求，可以向学生提问：你能将这两种情况概括一下吗？由此抽象出模型2.

模型2(定点)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆及点A,B，P(t,m).PA与椭圆交于另一点M，PB与椭圆交于另一点N.当t为常数且A,B为椭圆左、右顶点时，直线MN过定点当m为常数且A,B为椭圆上、下顶点时，直线MN过定点

文章来源：《中学理科园地》 网址: http://www.zxlkyd.cn/qikandaodu/2021/0511/1188.html