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2019年全国Ⅲ卷理科15题的多解及推广*

作者:

关键词:

摘要：

一、问题再现

问题(2019年全国卷Ⅲ理科15题)设F1，F2为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．

二、问题解决

问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程，是数学思维不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程．[1]从不同角度解决问题，有助于学生多角度认识问题，发展求异思维．

分析1:由椭圆方程得，F1(-4,0)，F2(4,0)，|F1F2|=8．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第一象限，则|MF1|=|F1F2|=8，|MF2|=4．

思路1:(定义法)设M(x0,y0)，由椭圆的第二定义得则x0=3，易得M的坐标为

思路2:(面积法)设M(x0,y0)，ΔMF1F2的面积为即所以M的坐标为

思路3:(三角法)设则所以M的坐标为

分析2:问题涉及椭圆上点到左焦点的距离，联想到极坐标方程

思路4 极坐标方程法不妨设极点为左焦点，由题意可知a=6，c=4，于是则ρ=8．设M(x0,y0)，结合分析1可知所以x0=3，故M的坐标为

点评：分析1对应的是最简单的方法，也是最容易想到的办法，分析2对应的方法有助于深入思考问题．

三、问题推广

张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广．数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题．”[2]

分析1:将问题推广到一般方程．

推广1设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M为C上一点且在第一象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的横坐标为将横坐标代入椭圆中，即得纵坐标，为了方便，下文的推广不具体写出纵坐标)

证明：易得F1(-c,0)，F2(c,0)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第一象限，则|MF1|=|F1F2|=2c，|MF2|=2a-2c．由题意可知设左焦点为极点，则化简得设M(x0,y0)，所以x0=ρcosθ-c，解得所以M的横坐标为

分析2:如果点M为椭圆C上一点且在第二、三、四象限，问题的结果又会怎样变化呢？

推广2 设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M为C上一点且在第二、三象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的横坐标为

证明：易得F1(-c,0)，F2(c,0)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第二象限，则|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a-2c．由题意可知设右焦点为极点，则化简得设M(x0,y0)，所以x0=c-ρcosθ，解得所以M的横坐标为

推广3设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M为C上一点且在第四象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的横坐标为

分析3:如果长轴在y轴上，结果又会怎样变化呢？

推广4设F1，F2分别是椭圆的上下焦点，M为C上一点且在第一、二象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的纵坐标为

证明：易得F1(0,c)，F2(0,-c)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第一、二象限，则|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a-2c．由题意可知设下焦点为极点，则化简可知设M(x0,y0)，所以y0=ρsinθ-c，解得所以M的纵坐标为

推广5设F1，F2分别是椭圆的上下焦点，M为C上一点且在第三、四象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的纵坐标为

证明：易得F1(0,c)，F2(0,-c)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第三、四象限，则|MF1|=|F1F2|=2c，|MF2|=2a-2c．由题意可知设上焦点为极点，则化简可知设M(x0,y0)，所以y0=c-ρsinθ，解得所以M的纵坐标为

分析4:问题的背景为双曲线，结果又将如何变化呢？

推广6设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第一、四象限．若

|F1F2|=|MF2|，则M的横坐标为

推广7设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第二、三象限．若

|F1F2|=|MF1|，则M的横坐标为

推广8设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第一、二象限．若

|F1F2|=|MF1|为等腰三角形，则M的纵坐标为

推广9设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第三、四象限．若

|F1F2|=|MF2|为等腰三角形，则M的纵坐标为

点评：立足成立条件、结构及解决方法将原问题进行推广，对培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有积极意义．

[1]喻平等．中国数学教育心理研究30年[M]．北京：科学出版社，2011．

[2]朱华伟，张景中．论推广[J]．数学通报，2005，44(4)：55-57．

一、问题再现问题(2019年全国卷Ⅲ理科15题)设F1，F2为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．二、问题解决问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程，是数学思维不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程．[1]从不同角度解决问题，有助于学生多角度认识问题，发展求异思维．分析1:由椭圆方程得，F1(-4,0)，F2(4,0)，|F1F2|=8．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第一象限，则|MF1|=|F1F2|=8，|MF2|=4．思路1:(定义法)设M(x0,y0)，由椭圆的第二定义得则x0=3，易得M的坐标为思路2:(面积法)设M(x0,y0)，ΔMF1F2的面积为即所以M的坐标为思路3:(三角法)设则所以M的坐标为分析2:问题涉及椭圆上点到左焦点的距离，联想到极坐标方程思路4 极坐标方程法不妨设极点为左焦点，由题意可知a=6，c=4，于是则ρ=8．设M(x0,y0)，结合分析1可知所以x0=3，故M的坐标为点评：分析1对应的是最简单的方法，也是最容易想到的办法，分析2对应的方法有助于深入思考问题．三、问题推广张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广．数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题．”[2]分析1:将问题推广到一般方程．推广1设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M为C上一点且在第一象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的横坐标为将横坐标代入椭圆中，即得纵坐标，为了方便，下文的推广不具体写出纵坐标)证明：易得F1(-c,0)，F2(c,0)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第一象限，则|MF1|=|F1F2|=2c，|MF2|=2a-2c．由题意可知设左焦点为极点，则化简得设M(x0,y0)，所以x0=ρcosθ-c，解得所以M的横坐标为分析2:如果点M为椭圆C上一点且在第二、三、四象限，问题的结果又会怎样变化呢？推广2 设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M为C上一点且在第二、三象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的横坐标为证明：易得F1(-c,0)，F2(c,0)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第二象限，则|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a-2c．由题意可知设右焦点为极点，则化简得设M(x0,y0)，所以x0=c-ρcosθ，解得所以M的横坐标为推广3设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M为C上一点且在第四象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的横坐标为分析3:如果长轴在y轴上，结果又会怎样变化呢？推广4设F1，F2分别是椭圆的上下焦点，M为C上一点且在第一、二象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的纵坐标为证明：易得F1(0,c)，F2(0,-c)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第一、二象限，则|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a-2c．由题意可知设下焦点为极点，则化简可知设M(x0,y0)，所以y0=ρsinθ-c，解得所以M的纵坐标为推广5设F1，F2分别是椭圆的上下焦点，M为C上一点且在第三、四象限．若ΔMF1F2为等腰三角形，则M的纵坐标为证明：易得F1(0,c)，F2(0,-c)，|F1F2|=2c．因为ΔMF1F2为等腰三角形，M为C上一点且在第三、四象限，则|MF1|=|F1F2|=2c，|MF2|=2a-2c．由题意可知设上焦点为极点，则化简可知设M(x0,y0)，所以y0=c-ρsinθ，解得所以M的纵坐标为分析4:问题的背景为双曲线，结果又将如何变化呢？推广6设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第一、四象限．若|F1F2|=|MF2|，则M的横坐标为推广7设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第二、三象限．若|F1F2|=|MF1|，则M的横坐标为推广8设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第一、二象限．若|F1F2|=|MF1|为等腰三角形，则M的纵坐标为推广9设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M为C上一点且在第三、四象限．若|F1F2|=|MF2|为等腰三角形，则M的纵坐标为点评：立足成立条件、结构及解决方法将原问题进行推广，对培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有积极意义．参考文献[1]喻平等．中国数学教育心理研究30年[M]．北京：科学出版社，2011．[2]朱华伟，张景中．论推广[J]．数学通报，2005，44(4)：55-57．

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